線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ - 3 & 1 & 4 \\ 2 & - 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

Find the determinant.

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ステップ 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.2

$0$ に $| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} |$ をかけます。

$1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.3

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 3 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 (1 \cdot 4 - (- 3 \cdot 4)) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$1 (4 - (- 3 \cdot 4)) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.3.2.1.2

$- (- 3 \cdot 4)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1.2.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$1 (4 - - 12) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.3.2.1.2.2

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$1 (4 + 12) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.3.2.2

$4$ と $12$ をたし算します。

$1 \cdot 16 + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 1.4

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - 3 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 16 + 0 - 2 (- 3 \cdot - 3 - 2 \cdot 1)$

ステップ 1.4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$1 \cdot 16 + 0 - 2 (9 - 2 \cdot 1)$

ステップ 1.4.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot 16 + 0 - 2 (9 - 2)$

ステップ 1.4.2.2

$9$ から $2$ を引きます。

$1 \cdot 16 + 0 - 2 \cdot 7$

ステップ 1.5

行列式を簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$16$ に $1$ をかけます。

$16 + 0 - 2 \cdot 7$

ステップ 1.5.1.2

$- 2$ に $7$ をかけます。

$16 + 0 - 14$

ステップ 1.5.2

$16$ と $0$ をたし算します。

$16 - 14$

ステップ 1.5.3

$16$ から $14$ を引きます。

$2$

ステップ 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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ステップ 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 & 4 + 3 \cdot - 2 & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 2 & - 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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ステップ 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 0 & 4 - 2 \cdot - 2 & 0 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 8 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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ステップ 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 8 + 3 \cdot - 2 & - 2 + 3 \cdot 3 & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 7 & 3 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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ステップ 4.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 & 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 4.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 4.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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ステップ 4.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 3 + 2 (\frac{7}{2}) & 1 + 2 (\frac{3}{2}) & 0 + 2 (\frac{1}{2}) \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 4.5.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 10 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 4.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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ステップ 4.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (\frac{7}{2}) & 0 + 2 (\frac{3}{2}) & 0 + 2 (\frac{1}{2}) \\ 0 & 1 & 0 & 10 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 4.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 8 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 10 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 8 & 3 & 1 \\ 10 & 4 & 1 \\ \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例